이차방정식 계산기
계수 a·b·c만 넣으면 근·판별식·근의 성질까지 한 번에. 실근·중근·허근을 자동으로 판별합니다.
x = ( −b ± √(b²−4ac) ) / 2a설명
근의 공식으로 ax²+bx+c=0의 실근·중근·허근을 판별해 구합니다.
검산 팁: 두 근의 합은 −b/a, 곱은 c/a와 같아야 합니다.
관련 도구
이차방정식 계산기는 ax²+bx+c=0 형태의 방정식에서 계수 a, b, c를 입력하면 근의 공식을 적용해 두 근과 판별식 결과를 즉시 계산해주는 도구입니다. 중학교·고등학교 수학 문제 풀이부터 물리·공학 계산까지 이차방정식이 등장하는 다양한 상황에서 손계산 실수를 방지하고 검산 시간을 줄여줍니다. 판별식 값에 따라 실수근 2개, 중근, 허수근 여부도 함께 확인할 수 있습니다.
사용 방법
a, b, c 입력란에 각 계수를 숫자로 입력합니다. 예를 들어 x²-5x+6=0이라면 a=1, b=-5, c=6을 입력합니다. a는 반드시 0이 아닌 값이어야 하며, a=0이면 이차방정식이 아닌 일차방정식이 됩니다. 계수를 입력하면 별도의 버튼 없이 판별식 D=b²-4ac가 자동으로 계산되고, D>0이면 서로 다른 두 실수근, D=0이면 중근(두 근이 같음), D<0이면 허수근(복소수)으로 결과가 표시됩니다. 계수에 소수도 입력할 수 있어 0.5x²+2.3x-1=0 같은 형태도 처리됩니다.
근의 공식 이해하기
근의 공식은 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)로, 어떤 이차방정식이든 인수분해 없이 근을 구할 수 있는 범용 공식입니다. 판별식 D=b²-4ac는 근의 성질을 미리 알려주는 지표로, 그래프로 보면 포물선이 x축을 두 점에서 만나는지(D>0), 접하는지(D=0), 만나지 않는지(D<0)를 뜻합니다. 인수분해가 가능한 문제는 손으로 빠르게 풀 수 있지만, 계수가 복잡하거나 근이 무리수·허수인 경우 근의 공식이 유일한 체계적 방법입니다. 허수근의 경우 결과는 a±bi 형태의 복소수로 표시됩니다.
자주 하는 실수
부호를 잘못 입력하는 경우가 가장 많습니다. x²-3x+2=0에서 b는 -3이므로 b 입력란에 반드시 -3을 넣어야 합니다. 양수로 입력하면 전혀 다른 근이 나옵니다. 또한 방정식을 ax²+bx+c=0 표준형으로 정리하지 않고 입력하는 실수도 흔합니다. 예를 들어 2x²=5x-3은 2x²-5x+3=0으로 이항·정리한 뒤 a=2, b=-5, c=3으로 입력해야 합니다. a에 0을 입력하면 분모가 0이 되어 계산이 불가능하므로 반드시 0이 아닌 값을 사용해야 합니다.
자주 묻는 질문
판별식이 음수이면 근이 없다는 뜻인가요?
중근이란 정확히 무엇인가요?
계수에 분수를 입력할 수 있나요?
근을 소수가 아닌 분수나 루트 형태로 볼 수 있나요?
a=0을 입력하면 어떻게 되나요?
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이차방정식 계산기 사용법
ax²+bx+c=0 형태의 세 계수만 입력하면 됩니다. 예를 들어 2x²-3x-5=0을 풀려면 a에 2, b에 -3, c에 -5를 넣습니다. a가 0이면 이차항이 사라져 일차방정식(bx+c=0)이 되므로, 이 계산기는 a에 0이 아닌 값을 요구합니다. 계수는 분수 대신 소수로 입력해도 되고, 음수 부호를 빠뜨리지 않는 것이 오답을 막는 핵심입니다.
계산 원리: 근의 공식과 판별식
해는 근의 공식 x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a 로 구합니다. 핵심은 루트 안의 값 D = b²-4ac(판별식)입니다. 이 값의 부호가 근의 성질을 결정합니다.
| 판별식 D = b²-4ac | 근의 형태 |
|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 |
| D = 0 | 중근(실근 1개) |
| D < 0 | 서로 다른 두 허근(켤레복소수) |
이 도구는 D를 먼저 계산해 부호를 판별한 뒤, D가 음수이면 √(-D)를 허수부로 분리해 p ± qi 꼴의 복소수 근을 자동으로 표기합니다.
활용 상황
중고등학교 수학 문제 검산, 포물선 y=ax²+bx+c가 x축과 만나는 지점(x절편) 확인, 물체를 던졌을 때 지면에 닿는 시각을 구하는 등속·등가속 운동 계산, 손익분기점을 이차식으로 모델링한 상황의 해 찾기 등에 쓰입니다. 특히 인수분해가 깔끔하게 안 되는 계수일 때 근의 공식으로 바로 값을 얻을 수 있어 편리합니다.
정확히 쓰는 팁
두 실근을 알면 계수를 역으로 점검할 수 있습니다. 근의 합은 -b/a, 근의 곱은 c/a(근과 계수의 관계)이므로, 결과가 이 관계를 만족하는지 확인하면 입력 실수를 잡아낼 수 있습니다. 또 √(b²-4ac)가 정수로 떨어지면 그 방정식은 유리수 근을 가지며 원래 인수분해가 가능했다는 뜻입니다. 계수가 모두 짝수라면 공통인수로 나눠 간단히 한 뒤 입력해도 해는 같습니다.
자주 묻는 질문
왜 a에 0을 넣으면 계산되지 않나요?
a=0이면 이차항이 없어져 이차방정식이 아니라 일차방정식이 됩니다. 근의 공식의 분모 2a가 0이 되어 정의되지 않으므로, 이 도구는 이차방정식 전용으로 a≠0을 요구합니다.
허근은 무엇이고 어떻게 표기되나요?
판별식이 음수이면 실수 범위에 해가 없고, 대신 √(-1)=i를 쓰는 복소수 근이 나옵니다. 이 계산기는 -b/2a를 실수부, √(4ac-b²)/2a를 허수부로 하여 p+qi와 p-qi 두 켤레복소수로 보여줍니다.
중근은 왜 근이 하나로 나오나요?
D=0이면 ±√D의 두 갈래가 모두 0이 되어 x=-b/2a 한 값으로 겹칩니다. 수학적으로는 같은 근이 두 번 겹친 것이라 중근이라 부르며, 그래프에서는 포물선이 x축에 접하는 경우입니다.
소수나 음수 계수도 넣을 수 있나요?
가능합니다. 0.5x²-2.3x+1=0처럼 소수, -4x²+x+3=0처럼 음수 계수도 그대로 입력하면 근의 공식에 대입해 계산합니다. 다만 계산 과정에서 소수점 반올림 오차가 생길 수 있어 표시된 근은 근삿값일 수 있습니다.